Методы и средства защиты информации



              

Линейное разделение секрета - часть 2


Строками матрицы V, соответствующей данной СРС, являются, как видно из (18.3), линейные комбинации строк матрицы H. Перепишем (18.3) в следующем виде

sj = (f, hj) для j = 0, 1, …, n,

где (f, hj) — скалярное произведение векторов f и hj. Если А Î Г, т.е. если h0 = ??jhj, то

s0 = (f, h0) = = ??j(f, hj) = ??jsj

и, следовательно, значение секрета однозначно находится по его “проекциям”. Рассмотрим теперь случай, когда вектор h0 не представим в виде линейной комбинации векторов {hj: j Î A}. Нам нужно показать, что в этом случае для любых заданных значений координат из множества А число строк матрицы V с данным значением любой координаты не зависит от этого значения. В этом не трудно убедится, рассмотрев (18.3) как систему линейных уравнений относительно неизвестных fi

и воспользовавшись тем, что система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы, а число решений у совместных систем одинаково и равно числу решений однородной системы.

Указание. Рассмотрите две системы: c “нулевым” уравнением и без него (т.е. со свободным членом). Так как вектор h0

не представим в виде линейной комбинации векторов {hj: j Î A}, то ранг матрицы коэффициентов второй системы на 1 больше ранга матрицы коэффициентов первой системы. Отсюда немедленно следует, что если первая система совместна, то совместна и вторая при любом s0.

Эта конструкция подводит нас к определению общей линейной СРС. Пусть секрет и его “проекции” представляются как конечномерные векторы si = (s, …, s) и генерируются по формуле si = fHi, где Hi

— некоторые r × mi-матрицы. Сопоставим каждой матрице Hi

линейное пространство Li

ее столбцов (т.е. состоящее из всех линейных комбинаций вектор-столбцов матрицы Hi). Несложные рассуждения, аналогичные приведенным выше для одномерного случая (все mi = 1), показывают, что данная конструкция дает совершенную СРС тогда и только тогда, когда семейство линейных подпространств {L0, …, Ln} конечномерного векторного пространства K удовлетворяет упомянутому выше свойству “все или ничего”.


Содержание  Назад  Вперед